高等数学

①函数、极限、连续

1.函数

一、函数的概念

1. 函数的定义

   $$y=f(x),x\in \mathcal{D}$$

   $x$自变量，$y$因变量
   $x$的变化范围定义域，函数值构成的集合$\{y=f(x)x\in \mathcal{D}\}$值域

2. 三种常用特殊函数

   • 分段函数
   • 隐函数
   • 参数方程确定的函数

二、函数的性质

1. 函数的单调性
   增函数，减函数

2. 函数的奇偶性
   奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称
   偶函数：$f(x)=f(-x)$，图像关于y轴对称

3. 函数的有界性
   $\mathrm{\forall }x$恒有$|f(x)|\le \mathcal{M}$有界函数
上界，下界
无界函数

4. 函数的周期性
   $f(x+T)=f(x)$周期函数

三、反函数

• $x=g(y)=f^{-1}(y)$，$g$是$f$的反函数
• 只有一一对应的函数才有反函数
• $y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$图像关于y=x对称

四、函数的四则运算与复合运算

1. 函数的四则运算

   加法	$f(x)+g(x)=(f+g)(x)$	$x\in \mathcal{D}$
   数乘	$kf(x)=(kf)(x)$	$x\in \mathcal{D}$
   乘法	$f(x)g(x)=(fg)(x)$	$x\in \mathcal{D}$
   除法	$\frac{f(x)}{g(x)}=(\frac{f}{g})(x)$	$g(x)\ne 0,x\in \mathcal{D}$

2. 函数的复合运算
   设函数$y=f(u)$的定义域${\mathcal{D}}_f$，函数$u=g(x)$的定义域${\mathcal{D}}_g$，且值域${\mathcal{R}}_g\subseteq {\mathcal{D}}_f$

   $$y=f[g(x)],x\in {\mathcal{D}}_g$$

   由$y=f(u)$和$u=g(x)$构成的复合函数，函数的复合运算记作$f\circ g$

五、基本初等函数

• 常值函数，$y=C$
• 幂函数，$y=x^{\alpha }$
• 指数函数，$y=a^x$
• 对数函数，$y={\log }_{a}x$
• 三角函数，$y=\sin x$，$y=\cos x$，$y=\tan x$
• 反三角函数，$y=\arcsin x$，$y=\arccos x$，$y=\arctan x$

2.极限

一、数列极限

1. 数列的定义$$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$$数列$\{a_n\}$，$a_n$通项
2. 数列极限的定义$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$$a$数列的极限
3. 数列极限的性质
   • 唯一性：数列极限的结果唯一
   • 有界性：收敛数列必有界
   • 夹逼定理：当左数列与右数列的极限相同时，夹在其中间数列的极限相同
   • 单调有界性：单调有界数列必有极限
   • 四则运算法则：$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha A+\beta B$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\cdot y_n)=AB$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B},(B\ne 0)$$

二、函数在$x\to x_0$时的极限

• 极限，左极限，右极限
• $$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A,\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A⟺li{m}_{x\to x_0}=A$$

三、函数在无穷远的极限

• 函数在$x\to \mathrm{\infty }$时的极限

3.函数极限的性质与运算

一、函数极限的运算

1. 极限的四则运算$$\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$$$$\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)g(x)]=AB$$$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B},(B\ne 0)$$
2. 夹逼定理$$g(x)\le f(x)\le h(x),\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=A,\underset{x\to x_0}{lim}h(x)=A\Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$$
3. 两个重要极限*$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

4.无穷小量与无穷大量

一、无穷小量与无穷大量的概念

1. 无穷小量

   $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$$

2. 无穷大量

   $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

   正无穷大量	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$
   负无穷大量	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

• 无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量
• 无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小

二、无穷小量的比较

1. 无穷小量的比较
   设$f(x)$，$g(x)$都是$x\to x_0$时的无穷小量，且$g(x)$在$x_0$的去心邻域内不为0

   若$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=c$，则当	称$f(x)$是$g(x)$在$x\to x_0$时的
   $c=0$	高阶无穷小量
   $c=1$	等价无穷小量
   $c=\mathrm{\infty }$	低阶无穷小量
   $c\ne 0$，$c\in \mathbb{R}$	同阶无穷小量

2. 极限$x\to 0$时的等价无穷小量
   常用等价无穷小替换公式

   ① $\sin x\sim x$	⑤ $e^x-1\sim x$	⑨ $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$
   ② $\tan x\sim x$	⑥ $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$	⑩ $\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$
   ③ $\arcsin x\sim x$	⑦ $a^x-1\sim x\ln a$	⑪ $\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3$
   ④ $\arctan x\sim x$	⑧ $\ln (1+x)\sim x$	⑫ $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$

3. 等价无穷小的重要性质
   等价无穷小的传递性：在同一极限中，若$\alpha (x)\sim \beta (x)$，$\beta (x)\sim \gamma (x)$，则$\alpha (x)\sim \gamma (x)$

5.连续函数的概念与性质

一、函数的连续与间断

1. 函数在一点连续的概念
   设函数$f(x)$在$x_0$及其附近有定义，若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$成立，则函数$f(x)$在$x_0$处连续，$x_0$称为函数$f(x)$的连续点

2. 左连续、右连续
   设函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，

   条件	称函数$f(x)$在点$x_0$处
   $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)$	左连续
   $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$	右连续

3. 函数间断点的定义
   设函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，如果函数$f(x)$有下列三种情形之一：
   · 在点$x=x_0$处无定义
   · $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$不存在
   · $\underset{x\to x_0}{lim}\ne f(x_0)$
   则函数$f(x)$在点$x_0$处不连续，点$x_0$称为函数$f(x)$的间断点

4. 间断点的分类

   • 第一类间断点：$x_0$是函数$f(x)$的间断点，且$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$和$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$都存在

     条件	结论
     $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$	可去间断点
     $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$	跳跃间断点

   • 第二类间断点

     条件	结论
     $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$或$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$	无穷间断点
     $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$不存在	振荡间断点

5. 函数连续的性质
   · 设函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$处连续，$f\pm g$、$f\cdot g$、$[\frac{f}{g},(g(x_0)\ne 0)]$都在点$x_0$处连续
   · 设函数$y=f[g(x)]$由函数$y=f(u)$与函数$u=g(x)$复合而成，$\mathcal{U}(x)\subseteq {\mathcal{D}}_{f\circ g}$，若函数$u=g(x)$在$x=x_0$处连续，且$g(x_0)=u_0$，而函数$y=f(u)$在$u=u_0$处连续，则复合函数$y=f[g(x)]$在$x=x_0$处连续

6. 闭区间上连续函数的性质
   · 最大值和最小值定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上必定取得最大值和最小值
   · 有界性定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上必有界
   · 界值定理：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$和$f(b)=B$，则对于$A$和$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi )=C(a<\xi <b)$
   · 推论1：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，$M$和$m$分别是$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值，则对于满足$m<\mu <M$的任何实数$\mu$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=\mu$
   · 推论2（零点定理）：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号（即$f(a)f(b)<0$）,则至少存在一点$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=0$

7. 初等函数的连续性
   · 基本初等函数在其定义域内为初等函数
   · 初等函数在其定义区间内为连续函数

②一元函数微分学

1.导数与微分的概念

一、导数的概念

1. 函数在一点处的导数定义
   设$y=f(x)$在$x_0$及其附近有定义，如果极限$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$存在，则称函数$f(x)$在$x=x_0$处可导，极限的值称为函数$y=f(x)$在$x_0$处的导数$f^{\prime }(x)$，$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$，$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

   $$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta })-f(x)}{\mathrm{\Delta }}$$

2. 左导数与右导数

   左导数	$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta })-f(x)}{\mathrm{\Delta }}$
   右导数	$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta })-f(x)}{\mathrm{\Delta }}$

   • $f^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)⟺$函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导

3. 导数的几何意义
   点$(x_0,f(x_0))$在$y=f(x)$上，则

   条件	切线方程	法线方程
   $f^{\prime }(x_0)\ne 0$	$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$	$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$
   $f^{\prime }(x_0)=0$	$y=f(x_0)$	$x=x_0$
   $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{\infty }$	$x=x_0$	$y=f(x_0)$

4. 可导与连续的关系
   如果函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，则函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续
   可导一定连续，连续不一定可导

二、微分的概念

1. 函数在一点处的微分
   设函数$y=f(x)$在$x_0$及其附近有定义，如果函数值$f(x)$在点$x_0$处的变化量$\mathrm{\Delta }f(x)$可表示成自变量变化量的一次项$a(x_0)\mathrm{\Delta }x$与自变量变化量的高阶无穷小$o(\mathrm{\Delta }x)$之和，即$$\mathrm{\Delta }f(x_0)=a(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$则函数$y=f(x)$在$x_0$处可微，$a(x_0)\mathrm{\Delta }x$称为$f(x)$在$x_0$处的微分
   函数的微分表达式：$df(x)=f^{\prime }(x)dx$
2. 可导与微分的关系
   $dy{|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x=f^{\prime }(x_0)dx$，可导与可微等价

三、相关变化率

1. 相关变化率的定义
   · 设$x=x(t)$与$y=y(t)$都是可导函数，而变量$x$与变量$y$之间存在某种关系，从而变化率$\frac{dx}{dt}$与变化率$\frac{dy}{dt}$之间也存在一定关系，这两个可以相互依赖的变化率称为相关变化率
   · 相关变化率是研究这两个变化率之间的关系，以便从一个变化率求出另一个变化率

2.导数的运算

一、基本导数公式

原函数	导函数		原函数	导函数
$y=C$	$y^{\prime }=0$		$y=\tan x$	$y^{\prime }={\sec }^{2}x$
$y=x^{\alpha }$	$y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$		$y=\cot x$	$y^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
$y=a^x$	$y^{\prime }=a^x\ln a$		$y=\sec x$	$y^{\prime }=\sec x\cdot \tan x$
$y=e^x$	$y^{\prime }=e^x$		$y=\csc x$	$y^{\prime }=-\sec x\cdot \cot x$
$y={\log }_{a}x$	$y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$		$y=\arcsin x$	$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$y=\ln x$	$y^{\prime }=\frac{1}{x}$		$y=\arccos x$	$y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$y=\sin x$	$y^{\prime }=\cos x$		$y=\arctan x$	$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$y=\cos x$	$y^{\prime }=-\sin x$		$y=\mathrm{arccot}x$	$y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

二、导数的四则运算

$$[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$$$$[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$$$[\frac{f(x)}{g(x)}{]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$$

三、复合函数的导数与微分

1. 复合函数的链式求导法则$$[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$
2. 复合函数的微分
   如果函数$y=f(u)$和函数$u=g(x)$可微，则复合函数$y=f(u(x))$的微分$$dy=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)dx=f^{\prime }(u)du$$

3.特殊函数求导法，高阶导数与近似运算

一、特殊函数的求导法

1. 对数求导法$$y=f(x{)}^{g(x)}⟺\ln y=\ln [f(x{)}^{g(x)}]=g(x)\ln f(x)$$$$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$
2. 参数方程的导数$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}\stackrel{{\phi }^{\prime }(t)\ne 0}{\to }\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$
3. 反函数的导数
   如果函数$x=\phi (y)$在某一区间单调、可导，且${\phi }^{\prime }(y)\ne 0$，则它的反函数$y=f(x)$在对应区间内也可导，且$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(y)}⟺\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
   • 反函数导数等于原函数导数的倒数
4. 分段函数的导数
   在分段点处利用定义求导，其他点处可用导数公式以及导数运算法则求导

二、高阶导数

$$f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x){]}^{\prime }$$

三、隐函数的导数

• 直接求导法：方程两边同时对$x$求导，遇到$y$的函数$g[f(x)]$，直接对$y$求导再乘以$y^{\prime }$，将含有$y^{\prime }$的项合并，其余项移到等号另一边，解出$y^{\prime }$$$\{g[f(x)]{\}}^{\prime }=g^{\prime }[f(x)]\cdot f^{\prime }(x)$$

四、微分在近似运算中的运用

$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$$$$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\approx f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+f(x_0)$$

4.微分中值定理

1. 罗尔定理
   若$f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$,则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$$f^{\prime }(\xi )=0$$
2. 拉格朗日中值定理
   若$f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
3. 柯西中值定理
   若$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，且在$(a,b)$内对任意$x$都有$g^{\prime }(x)\ne 0$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

5.洛必达法则

一、基于未定式“$\frac{0}{0}$”型或“$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$”型的极限

$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某去心邻域内可导，且

“$\frac{0}{0}$”型	“$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$”型
$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$且$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$且$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$
$g^{\prime }(x)\ne 0$	$g^{\prime }(x)\ne 0$
$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$存在	$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$存在

，则：

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

6.利用导数研究函数性质

7.曲率

8.泰勒公式

③一元函数积分学

1.原函数与不定积分的概念

2.基本积分公式

3.换元积分法

4.分部积分法

5.定积分的概念及其基本性质

6.微积分基本定理

7.定积分的换元积分法和分部积分法

8.反常积分

9.定积分在几何学上的应用

10.定积分在物理学上的应用

④向量代数与空间解析几何

1.向量代数

一、空间直角坐标系与向量代数

1. 空间直角坐标系概述
   • 空间直角坐标系
   • 坐标轴与卦限
     $x$轴、$y$轴、$z$轴，$xOy$面、$yOz$面、$zOx$面，三个坐标面将空间分割成八个卦限
   • 空间中的点与坐标的对应关系 $M(x,y,z)$
   • 空间中两点间的距离公式
     $M_1=(x_1,y_1,z_1)$，$M_2=(x_2,y_2,z_2)$$$d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$$
2. 向量代数概述

   • 向量的定义
     向量，数量

   • 向量的模
     向量的长度称为模，$|\overrightarrow{a}|$
     单位向量：模为1的向量
     零向量：长度为0的向量
     对两个向量的夹角$\theta$，规定$0\le \theta \le \pi$

   • 基本单位向量
     与空间直角坐标系中的$x$轴、$y$轴、$z$轴同方向的单位向量，$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$、$\overrightarrow{k}$

   • 向量的方向角与方向余弦
     方向角：非零向量分别与$x$轴、$y$轴、$z$轴正向的夹角$\alpha$，$\beta$，$\gamma$
     方向余弦：$\cos \alpha$、$\cos \beta$、$\cos \gamma$

     $${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

   • 向量的坐标表示
     $M_1=(x_1,y_1,z_1)$，$M_2=(x_2,y_2,z_2)$

     $$\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1\}$$

     $\overrightarrow{a}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{a}=\{a,b,c\}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

   • 向量的线性运算

     加法交换律	$\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\beta }+\overrightarrow{\alpha }$	$-$
     加法结合律	$(\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta })+\overrightarrow{\gamma }=\overrightarrow{\alpha }+(\overrightarrow{\beta }+\overrightarrow{\gamma })$	$-$
     数乘结合律	$\lambda (\mu \overrightarrow{\alpha })=\mu (\lambda \overrightarrow{\alpha })=(\lambda \mu )\overrightarrow{\alpha }$	$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$
     数乘对于数量加法的分配律	$(\lambda +\mu )\overrightarrow{\alpha }=\lambda \overrightarrow{\alpha }+\mu \overrightarrow{\alpha }$	$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$
     数乘对于向量加法的分配律	$\lambda (\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta })=\lambda \overrightarrow{\alpha }+\lambda \overrightarrow{\beta }$	$\lambda \in \mathbb{R}$

   • 向量的数量级$\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }$

     $$\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=|\overrightarrow{\alpha }||\overrightarrow{\beta }|\cos \theta$$

     交换律	$\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\beta }\cdot \overrightarrow{\alpha }$	$-$
     结合律	$\lambda (\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta })=(\lambda \overrightarrow{\alpha })\cdot \overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\alpha }\cdot (\lambda \overrightarrow{\beta })$	$\lambda \in \mathbb{R}$
     分配律	$(\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta })\cdot \overrightarrow{\gamma }=\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\gamma }+\overrightarrow{\beta }\cdot \overrightarrow{\gamma }$	$-$

     $$(\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta })\cdot \gamma \ne \overrightarrow{\alpha }\cdot (\overrightarrow{\beta }\cdot \gamma )$$

   • 向量的向量积$\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\beta }$

     $$|\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\beta }|=|\overrightarrow{\alpha }||\overrightarrow{\beta }|\sin \theta$$

     向量积的模$|\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\beta }|$几何意义上表示以$\overrightarrow{\alpha },\overrightarrow{\beta }$为邻边的平行四边形的面积

     反交换律	$\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\beta }=-(\overrightarrow{\beta }\times \overrightarrow{\alpha })$	$-$
     结合律	$\lambda (\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\beta })=(\lambda \overrightarrow{\alpha })\times \overrightarrow{\beta }=\overrightarrow{\alpha }\times (\lambda \overrightarrow{\beta })$	$\lambda \in \mathbb{R}$
     左分配律	$\overrightarrow{\gamma }\times (\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta })=\overrightarrow{\gamma }\times \overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\gamma }\times \overrightarrow{\beta }$	$-$
     右分配律	$(\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta })\times \overrightarrow{\gamma }=\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\gamma }+\overrightarrow{\beta }\times \overrightarrow{\gamma }$	$-$

   • 向量及其坐标的有关公式
     ① $\lambda \overrightarrow{\alpha }=\{\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3\}$，$\overrightarrow{\alpha }\pm \overrightarrow{\beta }=\{a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,a_3\pm b_3\}$
     ② $\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=|\overrightarrow{\alpha }||\overrightarrow{\beta }|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$
     ③ $\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\beta }=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$
     ④ $\overrightarrow{\alpha }$与$\overrightarrow{\beta }$平行的充要条件是它们对应的坐标成比例，即$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$
     ⑤ $\overrightarrow{\alpha }$与$\overrightarrow{\beta }$垂直的充要条件是$\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }=0$
     ⑥ 若$\overrightarrow{\alpha }=\{a_1,a_2,a_3\}\ne 0$，则${\overrightarrow{\alpha }}^{\circ }=\frac{1}{|\overrightarrow{\alpha }|}\overrightarrow{\alpha }$称为$\overrightarrow{\alpha }$的单位化向量，表示与$\overrightarrow{\alpha }$同方向的单位向量，且有$\overrightarrow{\alpha }=|\overrightarrow{\alpha }|{\overrightarrow{\alpha }}^{\circ }$，此时${\overrightarrow{\alpha }}^{\circ }=\{\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}},\frac{a_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}},\frac{a_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}\}$，即

     $${\overrightarrow{\alpha }}^{\circ }=\{\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \}$$

     其中$\cos \alpha$，$\cos \beta$，$\cos \gamma$是$\overrightarrow{\alpha }$的方向余弦

2.空间中的曲面与曲线

3.空间中的平面与直线

4.二次曲面

⑤多元函数微分学

1.多元函数的概念与偏导数

2.利用公式法求隐函数的导数

3.二元函数的极值

4.多元微分学的几何应用

5.方向导数与梯度

⑥多元函数积分学-重积分

1.二重积分

2.三重积分

3.重积分的应用

⑦多元函数积分学-曲线曲面积分

1.第一类曲线积分

2.第二类曲线积分

3.格林公式及其应用

4.第一类曲面积分

5.第二类曲面积分

6.高斯公式与斯托克斯公式

⑧常微分方程

1.微分方程的基本概念

2.一阶微分方程

3.可降阶得二阶微分方程

4.二阶线性微分方程解的结构

5.二阶常系数线性微分方程的解法

⑨无穷级数

1.常数项级数的概念和性质

2.正向级数的审敛法

3.一般项级数的审敛法

4.幂级数

5.函数展开成幂级数

6.傅里叶级数

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